Google+ Followers

Thursday, March 15, 2018

измерването на неизмеримото




Вчерашният ден бе символично или по-скоро нумерологично свързан с едно безкрайно и неизмеримо число. Трети месец, четиринадесети ден, ясно е за какво напомня. За онова съотношение между 22 и 7, което може би са открили още в Египет и Вавилон като постоянно явяващо се пропорционално между обиколката и диаметъра на всяка една окръжност. Съотношение между две цели, което ражда число, но какво? Когато 22 се раздели на 7, се получава първо една стойност, после още една, и още една, и още една... до безкрай. При това без някаква подредба и съразмерност в тях.
Безкрайна непериодична дроб, както казваме ние, бездната на апейрона - безграничен и неопределен, както го определили в Елада питагорейските акусматици.
Съотношението между 22 и 7 е неизчерпаемо и при всяка нова операция на делене се получава нова и нова остатъчна стойност и така се вижда, че има безкрайна делимост и на безкрайно малкото. Мистерията достига до Елада по времето, когато Питагор създава няколко важни медитативни секти във Велика Елада, най-големи от които станали онези в Сибарис и Кротон. Да, точно така ги нарича един от най-добрите историци на математиката в древността и античната философия. Бартел Леендерт ван дер Варден (или Верден) определя питагорейските общности като религиозни братства и научни школи. И с основание. Всичко, което и днес се изучава в средното училище по аритметика, геометрия и стереометрия, е наследено от онези математа, които изучавали послушниците в школите през първите пет години на ехемютия - сиреч на въздържането от прекалено питане, умуване и разпитване. 
Несъизмеримостта на диаметъра и периметъра е едно от двете важни питагорейски табута. Другото е онази странна стойност, която се получава като величина, когато се опитаме да изчислим дължината на страната срещу правия ъгъл в правоъгълен и равнобедрен триъгълник със страни на бедрата единица. За страната срещу правия ъгъл, която през епохата на Елинизма ще бъде наречена хипотенуза, в този случай се получава число, което днес ние изразяваме като корен квадратен от две, но този мистерийно-мистериален резултат е бил не по-малко шокиращ за древните от несъизмеримостта на диаметъра и периметъра. Но не защото все още не работели с операциите коренуване и степенуване, а само със събиране и изваждане, умножение и деление. Корен квадратен от две означава: има числа, които не само не са цели, но и не са рационални. Може би има отрицателни числа? Може би има и едно нищо или иначе казано уж-несъществуващо нулево число, което отграничава положителните и отрицателните числа? 
Холандските историци на математиката ван дер Варден и Стройк смятат, че на това питане според най-съобразителните мислители и в Египет, и във Вавилон отговорът е бил "да". Има и нецели, и ирационални числа. Има я и нулата като граница между положителните и отрицателните числа. 
Но тъй като Питагор бил повече мистик, отколкото математик, той табуирал тези две важни математически математа, а след разтурването на двете най-големи от сектите и физическото изтребване на послушниците в тях, следващите питагорейци работели и живеели поединично, криели и не преписвали ръкописите си... Едва великият Горгий разбрал за съществуването на най-великото и най-важното число, което според ван дер Варден е нулата. И затова Горгий започнал съчинението си За природата, или за несъществуващото с категоричното: 
Нищото е, сиреч, математически разбрано - има нула.  

По всяка вероятност за всичко това в Елада пръв е писал, и то подробно, софистът Хипий. Той, както и Антифонт, е бил отличен математик и със сигурност той е автор и на първото историкофилософско съчинение, написано още през V век пр. Хр. Но Платон явно му е имал зъб за нещо и така жестоко го е окарикатурил в два от ранните Сократически диалози, че после потомството не изпитвало никакъв интерес към него. Жалко, философът и математикът Хипий може би е жертва на едноименния литературно-философски персонаж в диалозите, в които литературно-философският персонаж Сократ го съсипва от подигравки. 
Както от Хипиевите, така и от автентичните съчинения на питагорейците след Филолай не е останало нищо. Особено важни от тях са били аритметическите проучвания на Архит (с поредиците от теореми за най-малкия общ делител между две произволни числа), философията на геометрията на Теетет и стереометрията на Тимей. Не случайно на тях двамата Платон посвещава два от най-големите и най-трудните си диалога. Сведенията за всички ранни математици и философи са много, но всички до едно са от Платон и Аристотел нататък. И колкото повече приближават към неопитагорейството и късната античност, толкова по-фантасмагорични и нездраво-мистични стават.

***
Най-ранното съчинение, което се е запазило за стойността, която нумерологично-символично отбелязахме вчера, е онова, което Архимед нарекъл Измерването на кръга (да, на кръга, защото в гръцкия има само една дума за "кръг" и "окръжност"). Най-важните редове от това съчинение се виждат на сканирата снимка по-горе.

Архимед е бил напълно опериран от склонност към какъвто и да било мистицизъм. Той e патрон на всички трезвомислещи изобретатели, техници и инженери, и изобщо не се впечатлявал от това, че от разделянето на 22 на 7 се получава едно инфинитно разпадащо се, безкрайно и непериодично, което е отново и отново делимо и което променя стойностите си при всяко едно изчисление от стотния знак нататък. Не, за Архимед мистичните спекулации и философското удивление от това не са били интересни. Важното за него е било да се строи, да се конструира, да се откриват формули за сложни цилиндри, конуси и най-вече спирали, за конусоиди, овали, сводове и куполи. Затова за удобство той опростява, не се церемони с апейрона и пише, че периметърът е троен на диаметъра и има и нещо в плюс, още малко, което е малко по-малко от една седма. 




Страничките на този пост са сканирани от книгата на друг известен холандски математик и историк на математиката - Дирк Стройк:


Много повече за измерването на неизмеримото и за античната математика в:
ван дер Варден, Б. Л. Пробуждаща се наука. С., "Наука и изкуство", 1968, превод от руски.
Стройк, Дирк. Кратък очерк по история на математиката, С., "Наука и изкуство", 1970, превод от немски.
Има и други, но с тези две може да започне любопитният.

5 comments:

Йордан Землян said...
This comment has been removed by the author.
Йордан Землян said...

Здравейте, Димка! Бих искал да внеса някаква формализация към вашия много интересен историко-математически текст.

1. Там е работата, че тъкмо в безкрайната делимост се състои рационализацията и че ирационалното уточнение е средоточващ уклон, т. е. ирационалната точка е реална граница, инструментална грешка, континуално прихождане: инструменталната грешка е николко, но я има.

2. Нулата е числото като качество, нежели като количество, т. е. нулата е онова нещо, което се числи.

3. Числото "пи" не може да се дефинира като 22/7; та проблемът тук е как кривината има дължина, че да се отнесе къмто отсечка. И че дори безкрайно къса отсечка не може да се наложи върху даже безкрайно радиална кривина, щото да попаднат в едно и също измерение. Т. е. числото "пи" се дефинира в аргументалния контекст на тригонометричните функции.

4. Корен кв. от 2 (и въобще т. нар. Питагорова теорема) е с векторен произход (през косинусовата теорема); а ключовото значение е скаларното произведение на вектори и попада в контекста на тригонометричните функции.

5. "+" и "-" върху числова ос координират посока, т. е. тяхното значение е векторно.

6. Числовата теория е аритметиката и не се занимава с функции, нито с вектори. Аритметичните операции се определят върху безоперативна сводка на теорията на множествата. Сиреч иде реч за субординация от три основни числови множества: реални числа, рационални числа и естествени числа. Логиките на тези три множества единеят в нулата: -e^(jπ) + e^(-jπ) = a/ā = 1/∞ = 0; "e" - Ойлеровото (т. нар. Неперово) число - дефинира се посредством експоненциалната функция (тя изразява изразходване на заложба); "j" е имагинерната единица (j^2 = -1, по Ойлеровите вектори); "а" e естествено число, т. е. отсечка, крайно число (крайните десетични дроби също са естествени числа); "ā" - анти-"a". Логиката на реалните числа е инверсивна, на рационалните - диалектическа, а на естествените - на изключеното трето:

- естествената логика е [1/∞], естественият почин да изведеш "какво има вътре" е да разглобиш;

- рационалната логика е [a/ā], рационалният почин да изведеш "какво има вътре" е да противоположиш;

- реалната логика е [-e^(jπ) + e^(-jπ)], реалният почин да изведеш "какво има вътре" е да издевателстваш (по Формулата на Ойлер).

Логиката е комична в своята просветна роля.

Йордан Землян said...

Един цитат в поддръжка на моя коментар:

"Действительные числа вводятся аксиоматически... Этот путь... логически наиболее совершенен, поскольку при других, так называемых "конструктивных", методах пострения теории действительных чисел (когда за основу берутся бесконечные десятичные дроби, или сечения в области рациональных чисел, или классы эквивалентных фундаментальных последовательностей рациональных чисел) все равно необходимо вводить аксиому существования (непротиворечивости) множества действительных чисел, без которых проводимые построения не имеют логически завершенного характера." Л. Д. Кудрявцев, "Курс математического анализа" (в три тома), 2003 - "Предисловие", първият абзац.

Димка Гочева said...

Много благодаря за компетентните разяснения, колега.
Аз дори и корен квадратен от две съм го написала с думи.
Тук поглеждат няколко десетки любопитни на ден.
Може би има и други като Вас, които разбират от математически анализ.

За мен това е непозната земя, но е хубаво да има и такива разяснения от експерти-математици, които са се занимавали с анализ.

По стария учебен план отпреди три десетилетия, още по тоталитарно време в специалност Философия се учеше два семестъра
дисциплина, която се наричаше "Висша математика" и това ставаше в осмия и деветия семестър.
На нашия курс ни преподаваше проф. Георги Гаргов - Бог да го прости!

Но всичко беше много езотерично в неговия начин на преподаване.
Имаше огромна пропаст между това, което бяхме учили в средното училище
и това, което преподаваше проф. Гаргов.
В училище имах отлични оценки и по математика, с изключение на алгебрата, която учихме в 8 клас.
Но бях във възторг от геометрията, сякаш съм била родена с вродени идеи и знания за всичко, което учехме и от стереометрията.
Може би и затова се чувствам като риба във вода поне с най-елементарните от заниманията на античните философи, половината от които са били брилянтни математици.
Проф. Гаргов ни обясняваше разбираемо, или поне аз разбирах, математическите занимания на Декарт, Паскал и Лайбниц, но за по-модерните неща бях безпомощна.
Ясно е какво е имал предвид Декарт, когато създава линейната алгебра и аналитичната геометрия; ясно е какво е "охлювът на Паскал"; ясно ми беше и инфинитезималното математизиране на Лайбниц, но моето разбиране стигна дотам.
За изпита при проф. Гаргов по негова препоръка прочетох "Що е математика?" на Курънт и Робинс, и разбрах нещичко от този голям том. Някои части от него са написани така, че просто любознателен човек може да ги разбере, други са непроницаеми от хора, които са учили в реални гимназии, където и на природно-математическите дисциплини се отделя достатъчно внимание. А руската гимназия в Стара Загора, която завърших в нейната английска паралелка, беше много по-близо до реалните гимназии, отколкото, примерно, до доминантно хуманитарна гимназия като НГДЕК.

Проф. Георги Гаргов беше саркастичен и се дразнеше от нашето тъпоумие и несхватливост, но няма как дори и любознателните и любопитни студенти, които много харесват математиката, макар че са хуманитари, да схванат някои сложни проблеми, ако не разбират откъде идват те и докъде стигат в импликациите си.

Може би защото и в това отношение съм повече аристотелистка, отколкото платонистка, много повече разбирах лекциите и упражненията на д-р, или (к.ф.н ст.ас.) Веселин Петков по дисциплината, която се казваше Философски проблеми на съвременната физика. Доктор Веселин Петков, който наскоро след приключването на преподаването на нашия курс емигрира през Виена за Канада, притежаваше невероятния талант да обясни същината на нещата разбираемо.
(Може би това е и въпрос на индивидуална предразположеност: при мен тя е много повече към физиката, отколкото към математиката.)
Веселин Петков ни изпитваше за някакъв минимум точни знания, които трябваше да сме усвоили, но винаги съдбовният въпрос беше: "Какъв е смисълът на всичко това? Какво означава?"
***
Колкото повече десетилетията минават, толкова повече се убеждавам: минимумът от математически знания и разбирания, които имам, се дължи на учителката ни в гимназията, която ни преподаваше от 8-ми до 11 клас - другарката Мария Клисурова.
Тогава всички бяха другарки.

Тя ни заставяше - като в античната математика - всичко първо да обясним с думи и за всеки символ във всяка формула да обясним какво означава и как се дефинира.
"Какво е това диаметър? Дайте определение. С коя буква и от коя азбука се означава?"
Какво е това радиус? Кажете определението с думи. Защо диаметърът се означава с буква от една азбука, а радиусът - с буква от друга азбука?"
Чак след време разбрах, че когато математиката се преподава като история на математиката, поне на такива като мен това им се вдълбава в познанията завинаги.

Йордан Землян said...

Изконно числеността не е хипостаза на апейрон, а трепет на живец.