спиралата на Теодор

Това изображение е от: https://www.theepochtimes.com/

Какво написах за "спиралата на Теодор" в малко по-прегледен от блогърския вид, можете да прочетете тук:

https://www.academia.edu/37544278/%D0%A1%D0%BF%D0%B8%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%B0%D1%82%D0%B0_%D0%BD%D0%B0_%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D0%B4%D0%BE%D1%80.pdf

„Спиралата на Теодор“, или за динамично-диалектичната математика

Димка Гичева-Гочева, СУ “Св. Климент Охридски“, ФФ

dimka.gocheva@gmail.com, gichevagoc@phls.uni-sofia.bg

    

Статията е приета за печат в сборник в чест на

60-годишнината на проф. дфн Искра Христова-Шомова.

Съставители на сборника: доц. д-р Венета Савова, доц. д-р Ива Трифонова, доц. д-р Петко Петков и д-р Иван П. Петров

       The paper presents one of the most intriguing mathematical puzzles, posed by Plato in the dialogue Theaetetus, which inflames the imagination of many mathematicians and philosophers from the antiquity till the present day. The passage is known as “the spiral of Theodore” and the ardent debates about its importance for the analytic geometry and the linear algebra will never seize. What is undeniable is not only the difficulty of the “spiral”, which is fully comprehensible only for mathematicians with highest speculative thinking, but also the conviction of Plato that the philosopher has to be excellently educated in geometry, arithmetic, astronomy and acoustic, or theory of music, in order to strive to the reach of knowledge and wisdom.

Key words: Plato, Theaetetus, mathematics, knowledge

       Една антична сентенция, провъзгласяваща необходимостта от математиката за осмислянето на най-сложните философски проблеми, се свързва с Академията на Платон. Над Академията на Платон уж имало надпис: „Който не е геометър, да не влиза“. Това едва ли е вярно в буквалния смисъл на забранителния надпис, но е напълно вярно в по-широкия смисъл и може да бъде емблема на всички Платонови занимания: преподаване в продължение на 40 години; старателно писане на диалози и писма, при това от старателно по-старателно записвани на най-качествения и безбожно скъп папирус; опасни приключения и пътешествия до Сиракуза, при едно от които даже бива пленен от пирати и продаден в робство… Според него  нито една друга интелектуална дейност не може да съперничи на математиката[1], като в това ни убеждават не само пространните разсъждения за необходимостта от солидно математическо образование, при това не елементарно, а продължаващо с десетилетия, които четем в Държавата и в Епиномис, но и вплитането на сложни математически методи и задачи в тъканта на Тимей, на Менон, на Държавникът и Теетет[2].

      В Тимей виждаме най-виртуозно владеене на аритметичната и геометричната прогресия в описанието на създаването на душата на космоса от демиурга (34с-37с), а в проследяването на създаването на тялото на космоса (37d-40d и отново 53с-58с) стъпка по стъпка, ъгъл след ъгъл и линия след линия се появяват най-красивите тела: петте съвършени фигури, които и до днес се изучават от студентите по математика във всички факултети по света в дисциплината стереометрия като „Платоновите многостени“ или „Платоновите тела“. Те са тетраедърът, кубът, икосаедърът и октоедърът, които са пораждащите фигури на огъня, земята, водата и въздуха. Във всички тях всички ръбове, вътрешни ъгли и стени са еднакви, както разбира се, и при додекаедъра – дванадесетостенът, който има за стени 12 еднакви пентагона-пентаграма. Още по-мистично омагьосваща (както са я възприели алхимиците) и още по-сложна става тази стереометрия, когато съобразим, че додекаедърът на космоса е вписан в неговата най-външна небесна сфера.

     На фона на тази пленителна космическа стереометрия, задачата в Менон (82a-85c) изглежда детински проста: да се построи квадрат, който да има двойно по-голяма площ от вече даден квадрат. С решаването на тази задача се справя един неграмотен и неук роб, и по този начин Платон доказва не само безсмъртието, но и предсъществуването на душата. Според него, способността да мислим и да разсъждаваме, и решаването на такива елементарни задачи не е нещо, което се усвоява чрез образование и възпитание, а е божественият дар, който душата на всеки човек носи в себе си, тъй като преди да се всели в каквото и да било тяло, тя е съзерцавала вечните и съвършени нематериални идеи в отвъдното хиперураново съществуващо. Познанието всъщност е припомняне на видяното там и тогава. Тази идея се подема и във Федон, в трагичните часове на последната вечер от живота на Сократ, когато чрез нея той успокоява приятелите си, че смъртта е разделяне на душата от тялото: сиреч онова, което всеки истински философ непрекъснато се опитва да прави и за което тялото е пречка.

      В съпоставка със стереометрията на петте съвършени многостена, както и при сравнение с аритметичните и геометричните прогресии в Тимей, не само задачата от Менон, но и аналогията в Държавникът изглежда школски разбираема. На едно важно място в този късен диалог човешката природа се сравнява не с друго, а с корен квадратен от две (266a-b)! Толкова ирационални, алогични и неразбираеми са всички наши мисли, страсти и действия, от което по-нататък се обосновават разсъжденията, че щом ние хората сме толкова алогични, колкото е стойността на корен квадратен от две, най-добре е да бъдем управлявани авторитарно, от управник, който не само може, но и трябва да решава всичко сам и да бъде над законите. Разбира се, освен математическата аналогия, в този късен диалог има и един апокалиптично-катастрофичен мит, с който още повече се всява страх и се подсилва внушението за неизбежността на едноличното управление: в космоса често настъпват не просто катаклизми и бедствия, но и понякога той сменя посоката си на въртене, времето също променя своя ход и световното цяло поема от космоса към хаоса.   

      Това са известни места от най-известните му диалози, а ако прибавим към тях и пасажите от Седмото писмо, както и обилните критично поднесени сведения в кн. Мю и Ню на Метафизика на Аристотел за Платоновата философия на числата и математическите неща, за питагорейската ѝ генеалогия, и за Спевсиповата и Ксенократовата ѝ метаморфоза, може даже да се уплашим от необятността на темата.

      В тази статия, обаче, която посвещавам на проф. дфн Искра Христова-Шомова, тъй като тя е не само блестящ филолог, но и математик с университетска диплома и от Факултета по математика в нашия университет, искам да обърна внимание на една от най-сложните задачи в диалозите на Платон. Това е един важен пасаж в композицията на диалога Теетет,  известeн като „спиралата на Теодор“, заради който диалогът е придобил славата на един от най-трудните за превод. Към обичайната двойна компетентност, която трябва да притежава човек както като познавач на гръцкия език, така и като философски способен читател и/или преводач, тук се появява още едно мъчно постижимо изискване, което утроява предварителните условия за достигане до смисъла на целия текст: не само филолог, не само философ, но и отличен математик трябва да бъде човек, за да проумее изцяло написаното.

      Трудността се усилва и даже се учетворява, когато видим, че пасажът е наситен с употреби на една дума с множество значения, която при Аристотел става една от трите модални категории δύναμις-ἐνέργεια-ἐντελέχεια. Две от тези понятия - ἐνέργεια и ἐντελέχεια - се създадени от Аристотел, това е безспорно, а δύναμις е била употребявана още от Омир с множество значения, но без специфичното онтологическо и модално схващане, което се провижда в спектъра от нейните всекидневни и терминологични употреби.

      И така, четвъртият аспект на трудността в осмислянето на „спиралата на Теодор“ идва от питането: какви са семената на по-сетнешното онтологическо превъплъщение, които покълват от геометрично-математическата страна на думата δύναμις, както и от ред глаголи в деятелен, страдателен и медиално-пасивен залог, отглаголни съществителни, причастия и прочие словоформи със същия корен, с които Платон виртуозно играе не само в поставянето на трудната математическа задача в Теетет, но и в диалога като цяло? Да добавя само, че това е третият по обем диалог след Закони и Държавата, и примерите са повече от 100.

     Задачата е описана на по-малко от три страници, рамкирани в пагинацията между 147c–148e, като по-долу ще видим, че с тази дума-съществително математиците по времето на Платон са обозначавали както „катет“, така и „хипотенуза“, така и „линия“, „отсечка“, така и „стойност на корен квадратен“ и изобщо „всяка стойност, която се получава при коренуване“ и т.н.^[3] Едва след Евклид (323-285 пр. Хр.) и (Архимед 287-212 пр. Хр.) се налагат по-специализираните термини.

     Преди да приведа пасажа изцяло в оригинал и в преводи на български и английски, нека накратко да спомена къде още в Платоновите диалози се среща многоликостта на δύναμις. Има поне два диалога, които успешно могат да конкурират Теетет като места, в които се посява онова, което ще порасне и ще бъде пожънато в Аристотеловата теологика, физика, антропология и етика.

     Единият от диалозите-конкуренти на Теетет е предполагаемо последният диалог Епиномис (986a5), в който думата δύναμις е употребена в мн. число и обозначава най-божествените небесни тела – планетите, които според основателя на Академията са самодвижещи се. На пръв поглед Аристотел напълно пренебрегва геометричното и астрономическото значение на думата и възстановява някои по-литературни и всекидневни, с които чрез нея се обозначават представите за власт, сила, мощ, могъщество. Но при по-внимателно вчитане можем да видим зародиша на бъдещото динамично концептуализиране на термина. Също така, макар че Аристотел отхвърля Платоновата идея за самодвижението не само на планетите, но и на всички небесни тела и звезди, защото според него се движат не те, а орбитите, към които те са статично фиксирани, очевидно е, че нещо в Платоновата приумица да нарече планетите дюнамеис го е провокирало да мисли в тази посока.

       Също така, ако търсим къде в Платоновите диалози δύναμις е много близко до онова, в което се превръща като първото модално понятие на Аристотел, ще го открием в самото начало на монолога на Тимей (28 а): πᾶν δὲ αὖ τὸ γιγνόμενον ὑπ’ αἰτίου τινὸς ἐξ ἀνάγκης γίγνεσθαι· παντὶ γὰρ ἀδύνατον χωρὶς αἰτίου γένεσιν σχεῖν. ὅτου μὲν οὖν ἂν ὁ δημιουργὸς πρὸς τὸ κατὰ ταὐτὰ ἔχον βλέπον ἀεὶ, τοιούτῳ τινὶ προσχρώμενος παραδείγματι, τὴν ἰδέαν καὶ δύναμιν αὐτοῦ ἀπεργάζηται, καλὸν ἐξ ἀνάγκης οὕτως ἀποτελεῖσθαι πᾶν.

 „Освен това всяко сътворявано нещо се сътворява поради някаква причина и не е възможно да има сътворяване на нещо без причина. Също така създателят на нещо – демиургът – гледа винаги към тъждественото и го взема като образец, той постига неговата форма τὴν ἰδέαν и същност δύναμιν, и всяко нещо, свършено по този начин, е красиво“.

(На с. 479 в четвъртия том на Диалози).

       Още в третото и четвъртото изречение на монолога на Тимей на сцената се появяват всички важни участници в спектакъла на сътворяването на космоса: демиургът; вечно самотъждественото, идеята, към която демиургът гледа;  материалната предразположеност-към-оформянето-и-космизирането на космоса  δύναμιν αὐτοῦ; и парадигмата на живото и живота. Виждаме, че проф. Михайлов е превел δύναμιν като същност, но по-нататък в диалога още на няколко места се казва така абстрактно, че материалното е предразполагащото към осъществяване. Аристотеловото битие-във- възможност може да е покълнало тук и поради това Тимей е вторият конкурент на Теетет в този аспект.

              И така, да прочетем условието и решението на задачата:

...

Задачата, изцяло цитирана на гръцки, българският превод на проф. Богданов, но силно редактиран more geometrico от мен и преводът на Флорънс Маргарет Джейн Левит можете да видите в прегледен вид тук:

https://www.academia.edu/37544278/%D0%A1%D0%BF%D0%B8%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%B0%D1%82%D0%B0_%D0%BD%D0%B0_%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D0%B4%D0%BE%D1%80.pdf
...

     Първо, нека да кажа няколко думи за трудността на превода. Всички Платонови диалози са били преведени на английски още през XIX век, като повечето от тях са дело на Бенджамин Джоует. Във всеки един от тях колегите от англоезичния свят отдавна са забелязали почти на всяка страница по една грешка, но въпреки това тези преводи продължават да се четат и цитират, а те са и най-достъпните в интернет. Без комплекси, с голяма признателност към огромния му труд, без излишен хиперкритицизъм, но и без прикриване на сгрешените много важни места, англоезичните колеги все още ползват преводите на Джоует, като многобройните грешки в тях (почти на всяка страница по една) не са попречили на англичаните и на американците да победят, примерно, във Втората световна война и да бъдат все още световни хиперсили. (Споменавам това заради бруталния негативизъм, с който бяха оклеветени първите цялостни български преводи на някои фундаментални философски съчинения от антични мислители, в които все още не са посочени съществени грешки.)

     Същевременно, за да има и по-прецизни преводи, изчистени от някои подвеждащи и несполучливи предложения на Джоует, мнозина философи и класически филолози са направили много нови преводи на повечето от диалозите, които са предпочитани от специалистите за по-високи нива на преподаванията и изследванията. Както е написал Майлс Бърниет в предговора към изданието на Теетет, Флорънс Маргарет Джейн Левит (1894-1974) е работила върху този превод, който цитирам по-горе, в продължение на 30 години! Понеже е била филоложка, философка, полиглотка и математичка, университетска преподавателка по логика в Кардиф и Глазгоу, тя направила справки с превода на 15 други езика, консултирала се е с всички математици от Кеймбридж и Оксфорд и… въпреки всичко не се осмелила да го публикува, но в завещанието си позволила това да стане след смъртта ѝ. Така най-старателно, най-педантично и най-фанатично-прецизно направеният превод на този диалог стига до читателите 16 години след кончината на преводачката през 1990 г. 

      Диалогът Теетет е един от най-трудните текстове на античната философия и за разбиране, и за превод, защото, например, както е посочил и проф. Богданов в коментара си към него, думата λόγος трябва да се преведе най-малко по 11 различни начина според контекста[1]. Виждаме от текста на задачата, но ако погледнем и към контекста на целия диалог, който е третият по обем, ще се уверим, че δύναμις  в ед. ч. и в мн. ч.  δυνάμεις не само настига, но може би даже изпреварва λόγος с многозначността си. „Сила“, „мощ“, „могъщество“, „власт“, „възможност“, „способност“, „предразположеност“, „предзададеност“ – всичко това е ясно, като идващо отпреди Платон и достигащо и до новогръцкия. Но ако прибавим и геометричните значения на „катет“ и „хипотенуза“, и аритметичните значения на операциите „повдигам на степен“, но също така и „коренувам“, както и значението на „аритметична стойност на хипотенузата след коренуване“, виждаме, че Платон умишлено е използвал не само съществителното, но и всякакви глаголни форми със същия корен. В цитирания пасаж виждаме: τὸν μὲν δυνάμενον…;…  πᾶς ὃς ἀδύνατος ἴσος ἰσάκις…; …  ἃ δύνανται…; …  οὐκ ἂν δυναίμην…; … οὔτ’ αὐτὸς δύναμαι πεῖσαι ἐμαυτὸν. Има много други подобни места в диалога, като най-прочуто от тях е определянето на предназначението на човека: „Уподобяването на бога, доколкото това е възможно (за човека): ὁμοίωσις θεῷ κατὰ τὸ δυνατόν (176 b)“. Като подражание на тези непреводими игри с думи от същия корен в целия диалог, можем да определим Теетет като най-динамичния диалог на Платон. 

    Още по-интересно става, когато видим, че в Тимей, в едно от най-важните места, в които се говори за създаването на многостените от първоначалните два ейдоса на триъгълниците (54d), Платон употребява думата „хипотенуза“! В Тимей четем ὑποτείνουσα със значението „хипотенуза“ и πλευρά със значение на катет. Защо тогава, щом Платон вече е имал две различни думи за различните видове страни на правоъгълните триъгълници, в Теетет предпочита да използва само една, при това да я включи в толкова много непреводими игри с различни глаголни форми, с различни ейдоси в рода на глагола „да мога“ със същия корен?

    Отговорът може да е: защото е бил велик математик, но и велик философ, и велик писател. Той не е искал в Теетет педантично да терминологизира и стриктно да употребява само една и съща дума-термин, макар че виждаме как в Тимей, явно от милост към читателите и за да улесни разбирането им на стереометричните построения, все пак го прави. В Теетет, напротив, решил е да отключи цялата езиково-диалектична стихия на едно семантично и смислово гнездо, в което думите имат толкова много всекидневни, общоупотребими, но и съвсем специфични онтологически, антропологически, общофилософски и математически значения. Аристотел грабва това съкровище и го умножава многократно и във Физика, и в Метафизика, и в Никомахова етика, и в За душата, и в Поетика, и навсякъде в трактатите си. Стихията на трите модални категории се разгръща още по-силно при него, но той така и не успява никога да възприеме убедеността на Платон, че всички математически неща не са неподвижно застинали и неизменни, а са динамични и поради това битиепораждащи сили, по-близки до идеално-ноуменалния, отколкото до триизмерно-материалния свят. Пропитата с уважение, но все пак сериозна критика към Платоновата философия на математиката, както и жлъчно-саркастичните коментари за мисленето на някогашните му състуденти Спевсип и Ксенократ, които четем в Метафизика, показват, че той до края на живота си остава напълно чужд на интуицията за диалектико-динамичната битиепораждаща същина на математическите неща.

       Що се отнася до „спиралата на Теодор“, математиците и историците на математиката и философията са стигнали до няколко „общи места“, благодарение на такива фанатично-прецизни преводачки като Ф. М. Дж. Левит. Всичко, разбира се, започва от най-простата задача, която, да напомним, успява да реши даже неукият роб в Менон: как да се построи квадрат, който да е двойно по-голям от вече даден? Отговорът е: като се построи квадрат върху диагонала на вече дадения. От това, обаче, е последвало едно неприятно откритие, което забелязали още питагорейците като най-непосредствено следствие на Питагоровата теорема: при равнобедрен правоъгълен триъгълник с дължина на катетите единица стойността на хипотенузата е корен квадратен от две, което е ирационално число, число на безкрая и на отрицателността[2]. Така питагорейците открили и коренуването, и степенуването, и съществуването на числа, които не са нито положителни, нито рационални и… табуирали разпространението на тези мистерии.

     Виждаме, че Платон спокойно пише за това, като в задачата на Теодор, която в негово присъствие представя Теетет, се говори за 17 последователни правоъгълни триъгълника, като се започва от равнобедрен правоъгълен, а постепенно дължината на онази дюнамис, която е срещу правия ъгъл, се увеличава с единица. В диалога събеседниците си казват, че в някои случаи тези дюнамеис, ако се представят геометрично като равнинни фигури, ще се превърнат в квадратни, равностранни числа. Веднага можем да съобразим, че става дума за стойностите на корен квадратен от 4, 9 и 16, защото те са целите рационални числа 2, 3 и 4. И обратно, онези стойности на дюнамеис, които като равнинни фигури са изобразими с правоъгълници, са ирационални числа.

     Да обърнем внимание на още нещо. В диалога задачата се преразказва от Теетет, макар че самият Теодор също е там, не е задочно включен в него, както задочно-въображаемо по-късно в беседата се появява софистът Протагор. Защо Теетет говори от името на Теодор? В Платоновите диалози нищо не е случайно: нито един композиционен замисъл, нито един мизансцен, нито един персонаж, нито един детайл, нито една дума[3]. Платон неслучайно е похарчил баснословна сума от огромното си състояние, за да си купи най-скъпия сиракузки папирус и да запише диалозите и писмата си върху него. Защото папирусът се употребява еднократно, в него няма палимпсести и написаното върху папирус с най-качественото и скъпо виолетово мастило, добивано от морски раковини, остава четимо с векове.

      Може би в диалога Теетет представя задачата на Теодор, за да се подчертае една важна диалектическа разлика, която вдъхновява математиците и днес. От една страна, ако останем в полето на аналитичната геометрия, тези правоъгълни триъгълници, които започват от равнобедрения с дължина на страната единица, могат да нарастват до триъгълника с хипотенуза, която е корен квадратен от седемнадесет. Така броят им е краен. Теетет казва, че това го твърди Теодор, който е там, участва в разговора и не му възразява. А самият Теетет секунда по-късно казва, че броят им е не краен, а безкраен:… μέχρι τῆς ἑπτακαιδεκάποδος· ἐν δὲ ταύτῃ πως ἐνέσχετο. ἡμῖν οὖν ἐισῆλθέ τι τοιοῦτον, ἐπειδὴ ἄπειροι τὸ πλῆθος αἱ δυνάμεις ἐφαίνοντο.

      Много математици, вещи във висшата математика се опитват - и успяват! - да докажат и да покажат крайността и безкрайността в тази задача за правоъгълните триъгълници[4]. Други намират тук, в „спиралата на Теодор“, както и в разсъжденията за числото в Епиномис, най-убедителните доказателства, че Платон е истинският създател на линейната алгебра и аналитичната геометрия, изпреварил Декарт с две хилядолетия[5].

     А за нас, некомпетентните да вземем страна в тези висши математически спорове, освен насладата от четенето на диалога, посветен на знанието и логоса, остава непоколебимото убеждение, че за Платон всичко, свързано с математическите неща, потвърждава диалектико-динамичната им битиепораждаща сила - δύναμις.

      Затова съвсем находчиво почти цяло хилядолетие по-късно Йоан Филопон съчинява „свидетелството“, че на входа на Академията пишело:

Който не е геометър, да не влиза!

Библиография:

Аристотел. Метафизика. Превод Николай Гочев (книги І-ІІІ, Х-ХІV) и Иван Христов (книги ІV-ІХ). Предговори: Д. Гочева, Николай Гочев, Иван Христов. С., 2000, изд. „СОНМ“, 2000.

Ван дер Варден 1968: Ван дер Варден, Б. Л. Пробуждаща се наука. Математиката на древния Египет, Вавилон и Гърция. Превод от руски Р. Петров и З. Запрянов. С., „Наука и изкуство“, 1968.

Николова 2006: Николова, Мария. Бележки относно Платоновите многостени. Послеслов в: Аристотел. За небето. За възникването и загиването. Превод на За небето и встъпителна студия Димка Гочева. Превод на За възникването и загиването Димитър Илиев. С., „СОНМ“, 2006.

Николова 2005: Николова, Мария. Математическите методи на Платон в Тимей, Теетет и Менон. Непубликувана дипломна работа, защитена във ФФ на СУ през 2005 г.

Панова 2005: Панова, Невена. Платоновият диалог. Ситуации и елементи на събеседването. С., “Сонм”, 2005.

Платон. Менон. В: Платон. Диалози. “Наука и изкуство”: Том ІІ. С., Превод Петър Димитров. 1982.

Платон. Теетет, Държавникът и Тимей. В: Том ІV. С., 1990. Теетет (превод Богдан Богданов). Държавникът (превод Донка Марковска). Тимей. Превод Георги Михайлов.

Платон. Седмо писмо. Платон поздравява роднините и съмишлениците на Дион. Превод Стоян Терзийски. В: Продължаващата античност. Специален тематичен брой на „Критика и хуманизъм”. 2002, кн. 13, 207-231.

Bostock 1988: Bostock, David. Plato’s Theaetetus. Oxford, Clarendon Press, 1988.

Brisson 1992: Platon. Timée. Critias. Traduction inédite, introduction et notes par Luc Brisson. Paris: Flammarion. 1992.

Brisson, Luc and Walter Meyerstein : 1995. Inventing the Universe. Plato’s Timaeus, The Big Bang, and the Problem of Scientific Knowledge. State University of New York Press. 1995.

Brisson :2006. Plato’s Natural Philosophy and Metaphysics. In : Gill, Mary Louis and Pierre Pellegrin (eds). A Companion to Ancient Philosophy. New Jersey : Blackwell Publishing. p. 212-231.

Brisson 2012 : Le programme d’études des membres du Collège de veille dans l’Epinomis. In : Epinomide. Studi sull’Opera e la sua ricezione. A cura di Francesca Alesse e Franco Ferrari con la collaborazione di Maria Cristina Dalfino. Naples : Bibliopolis.

 Burnyeat 2000 :Burnyeat, Myles. Plato on Why Mathematics is Good for the Soul. In : Mathematics and Necessity: Essays in the History of Philosophy. Proceedings of the British Academy, ed. Timothy Smiley, vol. 103, 2000, p. 1-81.

Burnyeat 2000 : Burnyeat, Myles. Eikos mythos. In : Rhizai. Vol. II, No2, 2005, p. 143-165.

Burnyeat 1990 : Burnyeat, Myles. The Theaetetus of Plato. With a translation of the dialogue by M.J. Levett. Indianapolis Cambridge : Hackett Publishing Company. 1990.

 Cherniss 1966: Cherniss, Harold. 1966 Die Ältere Akademie. Ein historishes Rätsel und seine Lösung. Heidelberg: Carl Winter Universitätsverlag. Übersetzt von Josef Derbolav from the original in English The Riddle of the Early Academy. 1945. University of California Press.

Gill and Pellegrin 2006 : Gill, Mary Louis and Pierre Pellegrin (editors). A Companion to Ancient Philosophy. New Jersey: Blackwell Publishing. 2006.

Heath 1921 : Heath, Thomas. A History of Greek Mathematics. Oxford, Clarendon, 1921.

Karfίk 2004: Karfίk, Filip. Die Beseelung des Kosmos. Untersuchungen zur Kosmologie, Seelenlehre und Theologie in Platons Phaidon und Timaios. K. G. Saur, Muenchen und Leipzig, 2004.

Kraut 2005:Kraut, Richard (ed.). 2005. The Cambridge Companion to Plato. 16^th printing. 2005.

Neugebauer 1969: Neugebauer, Otto. The Exact Sciences in Antiquity. New York, Dover publ., 1969.

Platonis Dialogi secundum Thrasylli Tetralogias Dispositi. Ex recognitione Caroli Friderici Hermanni, vol. I-VI. Lipsiae. In aedibus B.G. Teubneri. MCMXV-MCMVII. Reprinted photographically by D. Papadimas, Athens, 1977.

Van der Waerden 1956: Van der Waerden. Erwachende Wissenschaft. Ägyptische, Babylonische und Griechische Mathematik. Basel und Stuttgart: Birkhäuser Verlag. 1956.

Zhmud 1998: Zhmud, Leonid. Plato as “Architect of Science”. In: Phronesis: 43 (3):211-244, 1998.

---

[1] С. 591-595 в изданието от 1990 г.

[2] Умишлено изписвам това с думи и не използвам специфичните нови математически символи, защото в античната философия и математика, всичко се изписва с думи и с букви, включително числата, за да се види, че математиката е преди всичко логос. Чертежи няма дори при Евклид.

[3] Вж. подробно за това Панова 2005.

[4] Има много визуализиращи клипчета в YouTube, които показват стъпка по стъпка как се стига до  https://www.youtube.com/watch?v=tpAL-qgquUo крайната спирала на Теодор със 17-те триъгълника, но и също така как тя е потенциално безкрайна https://www.youtube.com/watch?v=kvj3BTckbIY. Последно достъпени на 3 октомври 2018.

[5] Много историци на математиката пишат с възторг за Платон като математик и за постиженията му в стереометрията (вж. напр. Heath 1921, Neugebauer 1969, Zhmud 1998). Най-убедено за създател и на линейната алгебра, а не само на аналитичната геометрия, го провъзгласява Бертел Леендерт ван дер Верден, или Варден, в световноизвестна книга, написана първоначално на холандски, преведена на всички световни езици, включително и на български. Вж. Ван дер Варден (1968).